Caos y azar

Cuando Newton acabó de crear el edificio de la física que obedecen los planetas, las manzanas y los arco iris el cosmos parecía ordenado y predecible. Si la manzana estaba a 2 metros sobre el suelo caería inexorablemente y los planetas seguirían órbitas predecibles hasta el fin del tiempo, el cosmos era una máquina, un mecanismo de relojería perfectamente engrasado. Al menos esta era la teoría, veamos por qué para Newton tres también son multitud y de que va esto del caos y el efecto mariposa.

En 1889 Poincaré se presentó a un concurso en el que se pedía determinar si el Sistema Solar era estable o si, por el contrario, cualquier día uno de los planetas podía salir despedido de su órbita sin más. Utilizando la mecánica newtoniana el gran matemático y físico demostró que el sistema era extraordinariamente caótico, es decir, que no se podía predecir la evolución de los planetas. ¿Cómo es posible que utilizando una física que nos permite lanzar satélites artificiales con portentosa precisión, se llegue a la conclusión de que el cosmos es impredecible? El truco está en las condiciones iniciales, Poincaré demostró que la evolución de los planetas, cuando había más de tres, sólo podría conocerse sí la posición y velocidad de todos ellos en un momento dado eran conocidas con infinita precisión. Poincaré se dio cuenta de que esto implicaba, en la práctica, que el sistema es impredecible porque una variación minúscula en las condiciones iniciales puede llevar a un cambio muy grande en el futuro, esto es, lo que más tarde se conoció, como efecto mariposa. En este ejemplo ya se observan varias de las características típicas de los sistemas caóticos. Primero, el caos no aparece en sistemas gobernados por el azar, sino en sistemas que obedecen leyes estrictas y deterministas. Si sé con precisión absoluta donde están hoy todos los planetas podré calcular dónde estarán el resto de la eternidad, es la incertidumbre en la medida la que ocasiona que el sistema sea impredecible y este error de medición es inevitable. Si nos equivocamos en unos miserables centímetros al determinar la posición de los planetas puede que estemos condenando a Plutón a abandonar el Sistema Solar dentro de 1000 años. El azar, a diferencia del caos, no sigue ley alguna, es completamente arbitrario e impredecible aunque lo conozcamos todo sobre el sistema.

La segunda característica típica de los sistemas caóticos es el número de elementos. El caos sólo aparece cuando hay, al menos, tres planetas y Newton sólo había resuelto las ecuaciones para dos cuerpos (en la wikipedia se puede ver una animación con el movimiento herrático y desordenado de los tres planetas frente a las órbitas elípticas del caso de dos cuerpos). Por cierto, este es el problema que Klaatu resuelve en "The Day the Earth Stood Still" para llamar la atención del científico.

Pero las conclusiones de Poincaré no cuajaron en la imaginación popular y no fue hasta la invención de los computadores que el estudio del caos no tomó la relevancia que hoy en día tiene. Ahora sabemos que no sólo los planetas son caóticos, otros ejemplos más conocidos son el clima, la bolsa, el cerebro o, incluso, el flujo del agua por una tubería. Fue Lorenz, un matemático y físico, quien, en 1960, estudiando un modelo del clima, determinó que por muchos esfuerzos que hiciésemos nunca seríamos capaces de predecir con más de dos o tres días de adelanto cuando va a llover. Para llegar a semejante conclusión introdujo su modelo sobre el movimiento del aire en la atmósfera en una computadora.

En su modelo el estado de la atmósfera en un momento concreto depende del que tuvo en el instante anterior. La simulación comenzaba en el instante cero, con unas condiciones iniciales, y progresaba calculando instantes posteriores de uno en uno. Como en aquel tiempo las computadoras no eran muy rápidas y no sólo de ciencia vive el hombre, cuando se acabó el día Lorenz, que había calculado, digamos, 1000 iteraciones hacia el futuro, imprimió los números que definían el estado de su modelo y se fue a dormir. Cuando volvió al día siguiente introdujo esos números como condiciones iniciales y dejó que el cálculo continuase a partir de la iteración 1001. Por suerte, para él y para el resto de curiosos del mundo, Lorenz era un científico meticuloso y decidió comprobar que la interrupción nocturna no había afectado al resultado así que volvió a correr la simulación desde cero hasta más allá de la iteración 1000 sin interrupción. Hasta la 1000 todo fue bien, los números de ambas simulaciones cuadraban a la perfección, pero más allá del 1000 el asunto se complicó. Al principio los cálculos eran similares aunque no idénticos, pero transcurridas unas cuantas iteraciones más los números del primer y del segundo día no se correspondían en absoluto.

Después de darle muchas vueltas Lorenz encontró la causa. Tras dejar descansar el ordenador durante la noche había introducido como condiciones iniciales los números que había impreso, pero esos números sólo tenían tres decimales mientras que, internamente, el computador funcionaba con 6 decimales. La minúscula diferencia en los números de partida, menor de una parte en 1000, hacía que los cálculos a partir de ese momento no cuadrasen. El matemático se dio cuenta de que esto implicaba que una variación mínima haría que cualquier sistema real fuese impredecible transcurrido un tiempo. Para describir este resultado Lorenz acuño el famoso término efecto mariposa. El aletear de una mariposa en Sebastopol, pequeña variación en las condiciones iniciales, puede causar un huracán en nuestra calle unos días maś tarde. Lo que Lorenz descubrió en 1960 sigue siendo válido hoy en día y esa es la razón de que las predicciones meteorológicas más allá de tres días sean tan imprecisas. Habría que conocer la posición y la velocidad de todas las moléculas de la atmósfera, mariposas incluidas, para poder hacer una predicción definitiva, pero esto, claro está, es imposible.

Pero no quería terminar sin remarcar que en el caos no todo es desorden, es el azar el que guía los sistemas completamente faltos de reglas y leyes. Hay un cierto orden interno en el caos porque, en el fondo, surge cuando se siguen leyes deterministas. Puede que no sepa si dentro de una semana va a llover en mi barrio o no, pero sé que en el próximo diciembre hará frío en Barcelona y calor en Buenos Aires. El caos presenta simetrías y sigue leyes, lo que lo diferencia del puro azar. En un universo completamente impredecible y azaroso la vida no sería posible porque los seres vivos explotan los patrones y las repeticiones para medrar y reproducirse. Este orden inherente al caos toma en muchas ocasiones bellos caminos, pero dada la extensión de esta entrada los fractales y los atractores tendrán que esperar a una próxima entrega.

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Mecánica cuántica: olas, balas y desconcierto

Supongo que después ver las palabras mecánica y cuántica, una tras otra, la mitad de los lectores ha decidido cerrar la página y volver a pasarse por Aristarcos otro día. Les recomiendo que lo hagan porque si aguantan hasta el final les prometo asomarnos a uno de los asombros más grandes que he encontrado en este gran cosmos. Y además, les aseguro que no voy a utilizar, términos técnicos difíciles de comprender, ni hacer uso de matemáticas avanzadas.

No vamos a intentar comprender el universo cuántico ni las matemáticas utilizadas en su descripción, ya que, por desgracia, lo ignoro todo al respecto. Simplemente siguiendo los pasos de Feynman en una de sus "Seis piezas fáciles" vamos a observar cuales son los resultados de un experimento mental en el que se lanzan electrones contra una pared con varios agujeros, lo cual no es tan extraño como pudiera parecer, cualquier tubo de rayos catódicos es un dispositivo de lanzar electrones contra una pared fluorescente e hipnótica.

Supongamos primero que realizamos el experimento con balas. Tenemos una ametralladora que dispara balas contra una pared impenetrable. Estas balas podrán a travesar la pared si llegan a un agujero presente en ella. Una vez en el agujero, la bala puede ser desviada al chocar contra los bordes del mismo. Tras la primera pared se encuentra otra de madera en la que se pueden contar las balas que han impactado en cada punto. De hecho, si se representa el número de balas que llegan a cada punto de la pared de detección, se obtendrá una curva similar a la de la figura A. De este modo, hemos respondido a la cuestión, ¿cuál es la probabilidad de que una bala que ha pasado por un agujero acabe en un punto concreto de la segunda pared? Evidentemente si ahora abrimos un segundo agujero y cerramos el primero obtendremos una curva similar desplazada respecto a la anterior (figura B). Y, por supuesto, la probabilidad con ambos agujeros abiertos a la vez es la suma de las dos probabilidades anteriores ya que las balas deben haber pasado por uno o por el otro agujero (figura C). Hasta aquí nada extraño, pero ya aviso que nos vamos a arrepentir profundamente del "Por supuesto" de la frase anterior.

En el siguiente vídeo se puede disfrutar de unos gráficos mucho mejores que los de la figura anterior, aunque, por desgracia, el audio es en versión original sin subtítulos. (Actualización acabo de encontrar una versión del vídeo con subtítulos en castellano.)

Repitamos ahora el experimento con olas en el agua. Esta vez en vez de una ametralladora tendremos un objeto que golpea repetidamente la superficie del agua en calma, por ejemplo, el pico de un pájaro, y la primera pared se sustituye por un dique con dos agujeros. En esta ocasión, lo que llegará a la segunda pared, al detector, es un patrón de ondas en el agua (figura D) y lo que se detectará es la energía trasportada por la onda en cada punto. La diferencia fundamental con el primer caso, es que esta vez, la distribución de la energía, en el caso con los dos agujeros abiertos, no es simplemente la suma de las encontradas cuando se cerraban los agujeros alternativamente. Ahora hay interferencia. Esta es una propiedad de las ondas fácil de entender. Si las ondas correspondientes a los dos agujeros se encuentran en un punto en el que ambas están en su máximo se sumarán, pero si una está en su máximo y otra en el mínimo se restará en ese punto el agua ni subirá ni bajará. El resultado obtenido se observa en la figura D.

Hasta este momento todo era macroscópico, balas y ondas en el agua, y los resultados de los experimentos no eran demasiado sorprendentes. Veamos que sucede cuando sustituimos las balas por electrones y nos adentramos en el mundo cuántico. Disparamos los electrones de uno en uno y representamos el número de electrones que llega a cada punto de la segunda pared. Este el el momento de puntualizar algo que debería ser obvio, los electrones llegan al detector de uno en uno, nunca llega medio electrón ni un cuarto, o llega un electrón o no llega, no se rompen por el camino.

¿Las probabilidades de encontrar al electrón en un punto de la segunda pared, serán equivalentes a las que encontramos con las balas o a lo que se vio con las ondas? Aquí es donde la diversión comienza y nos adentramos en un mundo desconcertante. La probabilidad de encontrar a un electrón se distribuye como lo hacían las ondas, se observa interferencia. Ya hemos visto que para que haya interferencia deben cumplirse dos requisitos: debe haber una onda implicada y la onda debe pasa por los dos agujeros a la vez. Pero ya habíamos visto que un electrón no se puede dividir, ¿cómo es posible que pase por las dos rendijas a la vez? Si pasa por un sólo agujero no debería haber interferencia y el patrón encontrado debería ser como el visto para las balas (figura C). Debería ser así, pero no lo es. Hay interferencia cuando los dos agujeros están abiertos, a pesar, de que nuestra intuición nos indica que el electrón debería pasar sólo por una rendija. Se comporta como una onda que pasa por los dos agujeros y, por o tanto, aparece la interferencia. El cosmos simplemente es mucho más extraño de lo que podríamos atrevernos a soñar.

Se podría repetir el experimento con un detector intermedio capaz de observar por que agujero pasa cada electrón para asegurarnos de que realmente atraviesa uno u otro y así intentar comprender como es posible que haya interferencia en una partícula. En este caso la distribución de los electrones cambia abruptamente y se hace idéntica a la observada en el caso de las balas. El observar el paso del electrón modifica el resultado del experimento, lo cual no tienen parangón en el mundo macroscópico. Cuando no los vemos, los electrones se comportan como ondas y cuando sí los observamos como partículas. La razón de este interferencia en el observador y el experimento se debe a que para observar al electrón hay que lanzarle una partícula de luz, un fotón, que, de algún modo, lo modifica. Esto equivale a decir, que los invitados a una fiesta en una sala con dos puertas entraran por una sola puerta si alguien los ve, pero se comportarán como ondas y entraran por las dos a la vez si ninguna cotilla se preocupa de espiarlos. Cuanto más nos adentramos en el terreno cuántico más debemos olvidarnos de nuestras intuiciones forjadas en un mundo macroscópico.

Podríamos permitirnos el lujo de suponer que todo esto no son más que delirios enfermizos de la comunidad de físicos, una especie de histeria colectiva si no fuese porque renunciar a la mecánica cuántica implicaría olvidar, entre otros inventos, el transistor y el láser, y entre otras tecnologías, internet, el ordenador personal y el teléfono móvil. La mecánica cuántica no sólo ha cambiado la forma de pensar en nuestro mundo, a través de la tecnología, ha modificado irreversiblemente la vida de los seres humanos.

El mundo microscópico es extraño, salvaje incluso. Se puede pensar en una isla paradisiaca, nos hemos pasado la vida en una playa de arenas claras frente a un mar cálido, generoso y rico en recursos. Nunca hemos necesitado abandonar esta playa hermosa y cómoda. Pero una mañana un espíritu inquieto decide mirar en otra dirección, se da la vuelta y se adentra en la selva. Tras los primeros pasos ve por primera vez una gran tucán y maravillado decide continuar el viaje y un poco más allá una tormenta le brinda el fuego. Al abandonar nuestra cómoda orilla en el océano macroscópico que hemos aprendido a comprender y a amar descubrimos que nada de lo que conocíamos es aplicable. Ni siquiera nuestros sueños podrían habernos llevado a lugares tan extraños y salvajes, pero tenemos la fortuna de que la física nos ha permitido conocerlos y admirarlos, aunque tal vez nunca lleguemos a comprenderlos del todo. Sólo queda añadir que si todo esto no le ha parecido extraño e incomprensible precoupese, Niels Bohr, premio nobel por ser uno de los padres de la mecánica cuántica afirmó: "Cualquiera que piense que puede hablar de teoría cuántica sin sentirse mareado todavía no la ha entendido."

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¿Somos realmente sólidos?

Cuando observo mis manos, la mesa que está frente a mí y los demás objetos que me rodean tengo la fuerte impresión de vivir en un mundo sólido, de ser sólido yo mismo. A pesar de que sea un hecho conocido hace tiempo me sigue fascinando el saber que, en realidad, estamos prácticamente huecos y somos atravesados continuamente por una ingente cantidad de partículas para las que somos meros fantasmas inmateriales.

Nos parece que somos sólidos porque los átomos que nos forman no pueden superponerse, son como pequeñas canicas. Del mismo modo que no podemos hacer que dos bolas ocupen el mismo espacio tampoco se puede obligar a dos átomos a ocupar el mismo lugar. Pero esto, a pesar de lo que nuestros sentidos nos indican no se debe a que las canicas o los átomos que las forman estén rellenos de materia, en realidad están prácticamente vacíos, es la repulsión eléctrica entre los electrones de los átomos lo que impide que estos se superpongan. Estas fuerzas de repulsión son similares a las que sentimos cuando intentamos unir dos imanes, de los que utilizamos en las neveras, acercándolos en el sentido que no toca. Algo invisible, pero real, un campo de fuerza nos impide unirlos. Del mismo modo la repulsión entre los electrones cargados negativamente impide que los átomos se acerquen más.

Los átomos por lo tanto están prácticamente vacíos y las paredes, que están formadas por esos mismos átomos también lo están. Si intentamos atravesar una pared no lo conseguiremos porque las fuerzas de repulsión eléctricas nos lo impiden. En realidad debido a esta repulsión nunca conseguiremos tocar la pared o cualquier otro objeto sólido, cuando las nubes electrónicas cargadas negativamente de los átomos de nuestros dedos y de los átomos de la pared se acercan demasiado aparece una fuerza de repulsión eléctrica que impide que nos acerquemos más. Esto hace también que en realidad nunca toquemos el suelo, sino que levitemos sobre él.

Si no estuviésemos formados por partículas cargadas eléctricamente las cosas serían muy distintas y atravesar paredes no presentaría ninguna dificultad. Por ejemplo los neutrinos, unas partículas neutras generadas en el Sol y en los reactores nucleares nos pueden atravesar sin problema. De hecho 50 billones de neutrinos creados en el Sol atraviesan un cuerpo humano típico cada segundo a una velocidad cercana a la de la luz.

De vez en cuando uno de estos neutrinos pasa lo suficientemente cerca de un núcleo atómico como para poder interaccionar con él, pero esto no sucede fácilmente. Igual que sucede cuando ponemos un bloque de plomo frente a una bala podemos intentar detener un grupo de neutrinos con plomo. La única diferencia es que en este último caso se necesita un bloque de un año luz de grosor, y aun así la mitad de los neutrinos que entren por un lado saldrán por el otro como si nada se hubiese interpuesto en su camino.

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La física de los superhéroes

Tengo intención de hacer una reseña de algún libro de vez en cuando. A veces leo libros de divulgación científica y quiero aprovechar para compartir los que me gusten. Para empezar he elegido el libro de James Kakalios "La física de los superhéroes", no porque me parezca el mejor de lo que he leido sino porque es el último que ha llegado a mis manos.

El autor hace un repaso de prácticamente todos los campos de la física, empezando por la mecánica de Newton y acabando por la física del estado sólido. Para ilustrar cada uno de los temas elige ejemplos extraídos del mundo del cómic de superhéroes en los que el principio físico subyacente se respeta o se viola. Pasan por sus páginas Superman, Flash, Atom, Ant-Man y un largo etcétera para mostrarnos los principios de la mecánica clásica, la termodinámica, la física de partículas, la física del estado sólido y la relatividad. La primera parte del libro, la dedicada a la física clásica podría servir para sazonar algún curso de física elemental y la segunda parte, la que más he disfrutado, es un ameno recordatorio de las leyes que rigen el microcosmos y el macrocomos.
No diría que el libro sea maravilloso, pero cumple su función con dignidad, entretiene y enseña. Incluso me atrevería a decir que puede incluso gustar a quienes no están muy próximos al mundo de los comics de superhéroes.

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