domingo, 2 de septiembre de 2007

Caos y azar

Cuando Newton acabó de crear el edificio de la física que obedecen los planetas, las manzanas y los arco iris el cosmos parecía ordenado y predecible. Si la manzana estaba a 2 metros sobre el suelo caería inexorablemente y los planetas seguirían órbitas predecibles hasta el fin del tiempo, el cosmos era una máquina, un mecanismo de relojería perfectamente engrasado. Al menos esta era la teoría, veamos por qué para Newton tres también son multitud y de que va esto del caos y el efecto mariposa.



En 1889 Poincaré se presentó a un concurso en el que se pedía determinar si el Sistema Solar era estable o si, por el contrario, cualquier día uno de los planetas podía salir despedido de su órbita sin más. Utilizando la mecánica newtoniana el gran matemático y físico demostró que el sistema era extraordinariamente caótico, es decir, que no se podía predecir la evolución de los planetas. ¿Cómo es posible que utilizando una física que nos permite lanzar satélites artificiales con portentosa precisión, se llegue a la conclusión de que el cosmos es impredecible? El truco está en las condiciones iniciales, Poincaré demostró que la evolución de los planetas, cuando había más de tres, sólo podría conocerse sí la posición y velocidad de todos ellos en un momento dado eran conocidas con infinita precisión. Poincaré se dio cuenta de que esto implicaba, en la práctica, que el sistema es impredecible porque una variación minúscula en las condiciones iniciales puede llevar a un cambio muy grande en el futuro, esto es, lo que más tarde se conoció, como efecto mariposa. En este ejemplo ya se observan varias de las características típicas de los sistemas caóticos. Primero, el caos no aparece en sistemas gobernados por el azar, sino en sistemas que obedecen leyes estrictas y deterministas. Si sé con precisión absoluta donde están hoy todos los planetas podré calcular dónde estarán el resto de la eternidad, es la incertidumbre en la medida la que ocasiona que el sistema sea impredecible y este error de medición es inevitable. Si nos equivocamos en unos miserables centímetros al determinar la posición de los planetas puede que estemos condenando a Plutón a abandonar el Sistema Solar dentro de 1000 años. El azar, a diferencia del caos, no sigue ley alguna, es completamente arbitrario e impredecible aunque lo conozcamos todo sobre el sistema.



La segunda característica típica de los sistemas caóticos es el número de elementos. El caos sólo aparece cuando hay, al menos, tres planetas y Newton sólo había resuelto las ecuaciones para dos cuerpos (en la wikipedia se puede ver una animación con el movimiento herrático y desordenado de los tres planetas frente a las órbitas elípticas del caso de dos cuerpos). Por cierto, este es el problema que Klaatu resuelve en "The Day the Earth Stood Still" para llamar la atención del científico.



Pero las conclusiones de Poincaré no cuajaron en la imaginación popular y no fue hasta la invención de los computadores que el estudio del caos no tomó la relevancia que hoy en día tiene. Ahora sabemos que no sólo los planetas son caóticos, otros ejemplos más conocidos son el clima, la bolsa, el cerebro o, incluso, el flujo del agua por una tubería. Fue Lorenz, un matemático y físico, quien, en 1960, estudiando un modelo del clima, determinó que por muchos esfuerzos que hiciésemos nunca seríamos capaces de predecir con más de dos o tres días de adelanto cuando va a llover. Para llegar a semejante conclusión introdujo su modelo sobre el movimiento del aire en la atmósfera en una computadora.



En su modelo el estado de la atmósfera en un momento concreto depende del que tuvo en el instante anterior. La simulación comenzaba en el instante cero, con unas condiciones iniciales, y progresaba calculando instantes posteriores de uno en uno. Como en aquel tiempo las computadoras no eran muy rápidas y no sólo de ciencia vive el hombre, cuando se acabó el día Lorenz, que había calculado, digamos, 1000 iteraciones hacia el futuro, imprimió los números que definían el estado de su modelo y se fue a dormir. Cuando volvió al día siguiente introdujo esos números como condiciones iniciales y dejó que el cálculo continuase a partir de la iteración 1001. Por suerte, para él y para el resto de curiosos del mundo, Lorenz era un científico meticuloso y decidió comprobar que la interrupción nocturna no había afectado al resultado así que volvió a correr la simulación desde cero hasta más allá de la iteración 1000 sin interrupción. Hasta la 1000 todo fue bien, los números de ambas simulaciones cuadraban a la perfección, pero más allá del 1000 el asunto se complicó. Al principio los cálculos eran similares aunque no idénticos, pero transcurridas unas cuantas iteraciones más los números del primer y del segundo día no se correspondían en absoluto.


Después de darle muchas vueltas Lorenz encontró la causa. Tras dejar descansar el ordenador durante la noche había introducido como condiciones iniciales los números que había impreso, pero esos números sólo tenían tres decimales mientras que, internamente, el computador funcionaba con 6 decimales. La minúscula diferencia en los números de partida, menor de una parte en 1000, hacía que los cálculos a partir de ese momento no cuadrasen. El matemático se dio cuenta de que esto implicaba que una variación mínima haría que cualquier sistema real fuese impredecible transcurrido un tiempo. Para describir este resultado Lorenz acuño el famoso término efecto mariposa. El aletear de una mariposa en Sebastopol, pequeña variación en las condiciones iniciales, puede causar un huracán en nuestra calle unos días maś tarde. Lo que Lorenz descubrió en 1960 sigue siendo válido hoy en día y esa es la razón de que las predicciones meteorológicas más allá de tres días sean tan imprecisas. Habría que conocer la posición y la velocidad de todas las moléculas de la atmósfera, mariposas incluidas, para poder hacer una predicción definitiva, pero esto, claro está, es imposible.



Pero no quería terminar sin remarcar que en el caos no todo es desorden, es el azar el que guía los sistemas completamente faltos de reglas y leyes. Hay un cierto orden interno en el caos porque, en el fondo, surge cuando se siguen leyes deterministas. Puede que no sepa si dentro de una semana va a llover en mi barrio o no, pero sé que en el próximo diciembre hará frío en Barcelona y calor en Buenos Aires. El caos presenta simetrías y sigue leyes, lo que lo diferencia del puro azar. En un universo completamente impredecible y azaroso la vida no sería posible porque los seres vivos explotan los patrones y las repeticiones para medrar y reproducirse. Este orden inherente al caos toma en muchas ocasiones bellos caminos, pero dada la extensión de esta entrada los fractales y los atractores tendrán que esperar a una próxima entrega.